WSTęP
„Przez model ekonometryczny badanych zjawisk i procesów ekonomiczno- społecznych rozumiemy zapisaną w języku matematycznym formalną konstrukcję przedstawiającą powiązania i zależności występujące między zjawiskami i procesami modelowanego systemu mierzalnej rzeczywistości z precyzją (dokładnością) niezbędną w procesie wnioskowania” .
W swojej pracy chciałbym zbadać, jaki wpływ mają różne czynniki na stopę bezrobocia. Do tych czynników zaliczam, indeks cen i towarów konsumpcyjnych, podaż pieniądza oraz produkcję sprzedaną przemysłu.
ZMIENNE
Dane pochodzą z roczników statystycznych i dotyczą okresu od lutego1996 r. do września 1997 r. W sumie jest to t=20 obserwacji, co daje dużą liczbę stopni swobody i pozwoli na uniknięcie błędu przy szacowaniu.
Do budowania modelu przyjmuję następujące oznaczenia:
Zmienna objaśniana:
Y- stopa bezrobocia
Zmienne objaśniające:
X1 – indeks cen towarów i usług konsumpcyjnych
X2 –podaż pieniądza w mld zł
X3- produkcja sprzedana przemysłu w mln zł
Ponieważ nie ma sensu wprowadzać do modelu zmiennych prawie stałych sprawdzam czy wszystkie kandydatki cechują się odpowiednią zmiennością (przekraczającą 10- 15%). W tym celu wyznaczam współczynnik zmienności.
Sx
V =
x
gdzie
V- współczynnik zmienności
S- odchylenie standardowe
X - średnia arytmetyczna
Jak wynika ze wzoru przed obliczeniem współczynnika zmienności należy obliczyć odchylenie standardowe i średnią arytmetyczną.
Sx=
S x1 = = 0,73
S x2 = = 16,89
S x3 = = 2517,22
S y = = 1,42
1 = = 101,16
2 = = 133,23
3 = = 24483,6
Teraz mam wszystkie dane niezbędne do obliczenia współczynnika zmienności
V x1 = ∙ 100 = 0,72%
V x2 = ∙ 100 = 12,68%
V x3 = ∙ 100 = 10,28%
Ponieważ V x1 jest mniejsze od 10% zmienna x1 cechuje się zbyt małą zmiennością i można ją pominąć w dalszych rozważaniach.
Następnym moim krokiem jest wyznaczenie współczynnika korelacji liniowej Pearsona pozostałych dwóch kandydatek ze zmienną endogeniczną (objaśnianą), który będzie potrzebny w dalszej części pracy.
rj =
0,05 ּ (- 466,92) -23,35
r2 = = = -0,97
16,89 ּ 1,42 23,98
0,05 ּ (-66151,56) -3307,58
r3 = = = -0,93
2517,22 ּ 1,42 3574,45
0,05 ּ 766746,70 38337,33
r23 = = = 0,9
16,89 ּ 2517,22 42515,85
Do redukcji kandydatek wykorzystuje się metodę nośników informacji Hellwinga. Nośnikiem informacji jest każda potencjalna zmienna objaśniająca.
Każdą zmienną, z każdej kombinacji charakteryzujemy pojemnością indywidualną, która jest wyrażana wzorem:
(rj)²
hij =
1+ Σ (rij)
gdzie hl j – pojemność indywidualna j- tej kandydatki z l- tej kombinacji
r j – współczynnik korelacji Pearsona j- tej kandydatki ze zmienną endogeniczną
rij- współczynnik korelacji i- tej i j- tej kandydatki
1. y= f (x2)
2. y= f (x3)
3. y= f (x2x3)
1. h12= (-0,97)²= 0,94
2. h23 = (-0,93)²= 0,86
r2² 0,94
3. h32 = = = 0,494
1+ r23 1,9
r3² 0,86
h33 = = = 0,453
1+ r32 1,9
Po wyznaczeniu pojemności indywidualnych charakteryzuję kombinację zmiennych pojemnością integralną, która jest sumą pojemności indywidualnych nośników wchodzących w skład danej kombinacji.
H1 = h12= 0,94
H2= h23= 0,86
H3= 0,494+ 0,453= 0,947
Kombinacja x2x3 bardzo dobrze scharakteryzuje kształtowanie się zmiennej endogenicznej, ponieważ pojemność integralna jest bliska 1.
Jak wynika z obliczeń do budowy modelu zostaną użyte zmienne x2 i x3. W dalszej części mojej pracy przyjmę następujące oznaczenia:
Zmienna objaśniana:
Y- stopa bezrobocia
Zmienne objaśniające:
X1- podaż pieniądza w mld zł
X2- produkcja sprzedana przemysłu w mln zł
ESTYMACJA
Zakładam, iż zależność między zmiennymi jest liniowa i model ma postać:
yt= 1x1t + 2x2t + 0 +t
yt*= a1x1t + a2x2t +a0
macierz (XTX)
macierz (XTY)
263,1
34584,58
6375483,6
Obliczam wyznacznik macierzy
20 2664,5 489672
det(XTX)= = 2707740591536,93
2664,50 360685,41 66003298,9
489672 66003298,90 12115661460
Następnie wyznaczam macierz dopełnień algebraicznych (XTX)D
13506855438559 37787418790,8 -751756166,47
37787418790,8 2534561616 -15334933,99
-751756166,47 -15334933,99 114147,95
Następnym krokiem jest podzielenie macierzy dopełnień algebraicznych przez det(XTX) w wyniku, czego otrzymałam macierz:
4,99 0,01 -0,0003
(XTX) –1= 0,01 0,0009 -0,0000056
-0,0003 -0,0000056 0,000000042
Obliczę wektor parametrów strukturalnych:
a= (XTX)–1 · XTY
4,99 0,01 -0,0003 263,1
a=
0,01 0,0009 -0,0000056 34584,58
-0,0003 -0,0000056 0,000000042 6375483,60
25
a= -0,06
-0,0001
Interpretacja oszacowań modelu
Wzrost zmiennej objaśniającej x1 o jedną jednostkę przy nie zmienionej wartości zmiennej x2 spowoduje wzrost zmiennej objaśnianej Y o 25 jednostek.
Wzrost zmiennej objaśniającej x2 o jedną jednostkę przy nie zmienionej wartości zmiennej x1 spowoduje spadek zmiennej objaśnianej Y o 0,06 jednostki.
Na podstawie uzyskanych wyników otrzymałam:
y*= -0,06 x1t-0,0001 x2t +25
(0,0087) (0,00005843) (0,64)
Jeżeli wszystkie obliczenia zostały wykonane poprawnie to muszą być spełnione następujące relacje:
1. Suma wartości teoretycznych wyznaczonych na podstawie modelu musi być równa sumie rzeczywistych realizacji zmiennej endogenicznej
Σ yt = Σ yt*
Σ yt = 263,1 Σ yt* = 263,1
2. Suma reszt musi być równa 0
Σ ut = 0
3.
XTU= 0 0,129
0,521
0,308
0,01
-0,371
-0,23
-0,345
360685,41 66003298,9 2664,5 -0,443
-0,182
66003298,9 12115661460 489672 -0,214 = 0
0,326
266,50 489672 20 0,130
0,350
0,129
0,101
-0,299
0,036
0,004
-0,156 0,106
YTU = 0
15,371 0,129
14,879 0,521
14,792 0,308
14,6 0,1
14,671 -0,371
14,33 -0,230
14,145 -0,345
13,943 0,443
13,382 -0,182
13,514 · -0,214 = 0
12,874 0,326
12,970 0,130
12,650 0,350
12,471 0,129
11,99 0,101
11,99 -0,299
11,564 0,036
11,296 0,004
11,156 -0,156
10,494 0,106
Do syntetycznego opisu stopnia zgodności modelu z danymi empirycznymi używa się zwykle:
1. Odchylenia standardowego reszt jako estymatora odchylenia standardowego składnika losowego
Su² = Σ ut²
ut²= yt- y*
Su²= · 1,377 = 0,081 Su= Su² = 0,284
Interpretacja wyniku:
Łrednio rzecz biorąc stopa bezrobocia wyznaczona na podstawie modelu odchyla się od rzeczywistej o +/- 0,284
2. Współczynnik zmienności przypadkowej
Su
V = • 100%
0,284
V= · 100% = 2,2
13,16
Interpretacja wyniku:
Odchylenie standardowe reszt stanowi 2,2% średniej stopy bezrobocia.
3. Współczynnik zbieżności
Σ (yt – y*) ²
φ² =
Σ (yt – ) ²
1,377
φ² = = 0,034
40,07
Interpretacja wyniku:
3,4% wahań stopy bezrobocia można tłumaczyć działaniem przyczyn losowych.
4. Współczynnik determinacji
Rw² = 1 - φ²
Rw²= 1- 0,034= 0,966
Interpretacja wyniku:
96,6% wahań stopy bezrobocia można tłumaczyć wahaniami podaży pieniądza i produkcji sprzedanej przemysłu.
5. Współczynnik korelacji wielorakiej
Rw=
Rw= 0,966 =0,98
Interpretacja wyniku:
Pomiędzy stopą bezrobocia a podażą pieniądza i produkcją sprzedaną zachodzi silna zależność.
BADANIE ISTOTNOŁCI WP£YWU ZMIENNYCH
Istotność wpływu zmiennej x1
H0 : α1 =0 podaż pieniądza nie wpływa w istotny sposób na stopę bezrobocia
H1 : α1 ≠ 0 podaż pieniądza wpływa w istotny sposób na stopę bezrobocia
Sprawdzianem tak postawionej hipotezy jest statystyka studenta o n-k stopnia swobody wyznaczana jako:
ai - αi
ti =
D (ai)
gdzie,
αi – parametr stojący przy i- tej zmiennej objaśniającej
ai- ocena i- tego parametru, i-ty element wektora a
D (ai)- średni błąd szacunku i-tego parametru
0,0624- 0
t1= = 7,17
0,0087
t n-k/α = t 17/0,05 = 2,11
-2,11 2,11 7,17
Wyznaczona statystyka t1 wpadła do obszaru krytycznego, czyli odrzucamy H0 na korzyść H1, co oznacza, że podaż pieniądza wpływa w istotny sposób na stopę bezrobocia.
Z oszacowanej zależności wynika, że wzrost zmiennej objaśniającej X1 o jedną jednostkę przy nie zmienionej wartości zmiennej X2,spowoduje spadek zmiennej objaśnianej Y o 0,06 jednostki ze średnim błędem szacunku 0,01,ceteris paribus.
H0: α2 = 0
H1: α2 ≠ 0
0,0001-0
t2= = 1,711
0,00005843
-2,11 1,711 2,11
Wyznaczona statystyka nie wpadła do obszaru krytycznego. W związku z tym nie ma podstaw do odrzucenia H0.
BADANIE LOSOWOŁCI
H0: reszty są losowe
H1: reszty nie są losowe
Aby obliczyć czy reszty są losowe wykorzystuje się test serii. Punktem wyjścia jest ciąg reszt uporządkowanych:
• Według kolejności jednostek czasu, gdy model szacowany był na podstawie danych dynamicznych
• Według rosnących wartości zmiennych objaśniających, gdy model budowany był na podstawie danych przekrojowych
Dla uporządkowanego ciągu reszt oblicza się liczbę serii. Serią jest każdy po ciąg reszt złożony wyłącznie z elementów dodatnich lub ujemnych.
N1- reszty dodatnie
N2- reszty ujemne
u serie
0,13 N1
0,52 N1
0,31 N1
0,10 N1
-0,37 N2
-0,23 N2
-0,34 N2
-0,44 N2
-0,18 N2
-0,21 N2
0,33 N1
0,13 N1
0,35 N1
0,13 N1
0,10 N1
-0,30 N2
0,04 N1
0,004 N1
-0,16 N2
0,11 N1
n1= 12 reszty dodatnie
n2= 8 reszty ujemne
S= 7 serie
S1= 6
S2= 7
S zawiera się w (S1, S2) a więc nie ma podstaw do odrzucenia H0 a więc reszty są losowe.
BADANIE SYMETRII
W dobrym modelu reszt dodatnich powinno być tyle samo co reszt ujemnych. Należy to sprawdzić weryfikując hipotezę:
H0: = reszty są symetryczne
H1 : ≠ reszty nie są symetryczne
Sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka studenta o n-1 stopniach swobody
ti=
gdzie
m- liczba reszt dodatnich
n- liczba reszt ≠0
ti =
t 17/0,05= 2,11
-2,11 0,91 2,11
Wyznaczona statystyka nie wpadła do obszaru krytycznego, czyli nie podstaw do odrzucenia H0. Reszty są symetryczne.
AUTOKORELACJA SK£ADNIKA LOSOWEGO
Jest to zależność między składnikami losowymi odnoszącymi się do różnych okresów.
Przyczyny autokorelacji:
• Przyjęcie niewłaściwej postaci analitycznej równania modelu
• Błędne określenie opó¼nień czasowych zmiennych występujących w modelu
• Fakt powolnego wygasania skutków pewnych czynników przypadkowych, gdy trwają one dłużej niż okres przyjęty za jednostkę
Do syntetycznego opisu powiązań między składnikami losowymi używa się najczęściej współczynników autokorelacji.
Współczynnik autokorelacji rzędu pierwszego jest miarą natężenia zależności między zmiennymi losowymi oddalonymi od siebie o jedną jednostkę czasu.
Korzystając z reszt modelu mogę wyznaczyć estymator tego współczynnika jako:
ρ1=
ut= Σ ut = 0,007
ut-1= Σ ut-1 = 0,23
0,676- (20-1) · 0,007 · 0,23
ρ 1= = 0,21
1,377- · 1,366-
Do oceny istotności tego współczynnika autokorelacji wykorzystuje się test Durbina- Watsona
H0 : ρ1 = 0
H1 : ρ1 0
Sprawdzianem tak postawionej hipotezy jest statystyka
Σ (ut- ut-1)² 1,374
d= = = 1,01
Σ ut² 1,360
d’= 4-d = 4-1,01=2,99
Z tabeli Durbina- Watsona odczytałam wartości krytyczne dl i du statystyki dla
n= 20 obserwacji, poziomu ufności 0,05 i K= 3 liczba parametrów:
dl= 1,10
du= 1,54
4- du= 2,46
4- dl= 2,90
Ponieważ statystyka d’ jest większa od dl i du nie ma podstaw do odrzucenia H0. Autokorelacja nie wystąpiła.
PROGNOZOWANIE
Predykcja ekonometryczna to proces wnioskowanie w przyszłość na podstawie modelu ekonometrycznego. Wynikiem predykcji jest prognoza zmiennej endogenicznej. Aby można było wnioskować na podstawie modelu muszą być spełnione następujące założenia:
1. Znany jest model ekonometryczny zmiennej prognozowanej
2. Parametry modelu i jego postać analityczna są stabilne w czasie
3. Rozkład składnika losowego jest stabilny
4. Znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym
5. Dopuszczalna jest ekstrapolacja modelu poza próbą statystyczną
Prognoza dla następnego okresu tzn. pa¼dziernika 1997. W okresie prognozowanym przyjmuję następujące wartości:
x1= 160,321
x2= 30335
Wyznaczam prognozę zmiennej Y:
yTP = -0,06 • 160,321 –0,0001 • 30335 +25= 12,34
Aby ocenić dokładność predykcji wyznaczę wariancję predykcji i jej pierwiastek kwadratowy, średni błąd predykcji, który określa o ile średnio rzecz biorąc w długim ciągu prognoz wyznaczone prognozy odchylają się od rzeczywistych wartości zmiennej prognozowanej.
V2= XTPT · [ Su2 (XTX) –1] XTP + Su2
V2= • 85347,29
V= = 290,43
W długim okresie prognoz wyznaczone prognozy będą odchylać się od rzeczywistych wartości zmiennej o +/- 290,4 jednostek.
Następnym moim krokiem jest ocenienie czy prognoza jest dopuszczalna, jeżeli średni względny błąd predykcji nie może przekroczyć 20%.
V 290,4
· 100% = · 100% = 2353,32 %
yTP 12,34
Prognoza jest niedopuszczalna, ponieważ średni względny błąd predykcji znacznie przekracza 20%.
|
