Mapa Serwisu
|
| Ekonometryczna analiza liczby absolwentów akademii medycznych w Polsce z wykorzystaniem pakietu STATGRAPHIC |
|
Admin1 dnia marzec 15 2007 17:12:55
|
Ekonometryczna analiza liczby absolwentów akademii medycznych w Polsce z wykorzystaniem pakietu STATGRAPHIC
SPIS ZAGADNIEń
1. WSTęP MERYTORYCZNY
2. ANALIZA STATYSTYCZNA ZMIENNEJ OBJAŁNIANEJ
Łrednia, wariancja oraz odchylenie standardowe
Histogram
Nieparametryczne testy istotności
Przedziały ufności
Parametryczne testy istotności
Testowanie hipotez dotyczących rozkładu zmiennej objaśnianej
Podsumowanie statystycznej analizy zebranych danych
3. ANALIZA WARIANCJI (METODA ANOVA)
Badanie współczynnika zmienności
Badanie homogeniczności wariancji
Jednokierunkowa analiza wariancji
4. BUDOWA MODELU EKONOMETRYCZNEGO
Badanie autokorelacji
Metoda regresji krokowej
5. WERYFIKACJA MODELU
Analiza wariancji
Analiza rozkładu reszt
Istotność parametrów strukturalnych
Zasada koincydencji
Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych
Prognozowanie
Wyrównanie wykładnicze Browna
Wstęp merytoryczny
STUDIA MEDYCZNE – jak dostać się na akademię medyczną, jaki przebieg mają studia, ile lat trwają
Studia medyczne cieszą się nadal dużą popularnością wśród absolwentów szkół średnich. Przeciętnie o jedno miejsce na akademię medyczną walczą 2 – 3 osoby. Szkoły przyjmują kandydatów na I rok studiów na podstawie wyników konkursowego egzaminu wstępnego. Egzamin ma charakter zintegrowanego testu i obejmuje program nauczania szkoły średniej z biologii, chemii, fizyki i języka obcego.
Studia lekarskie trwają 6 lat (12 semestrów). Pierwsze lata studiów poświęcone są przede wszystkim nauce dyscyplin podstawowych, do których należą przedmioty o profilu morfologicznym i biochemiczno-fizjologicznym, takie jak: histologia z embriologią, anatomia prawidłowa, biofizyka, fizjologia itd. Na trzecim roku studiów program przewiduje nauczanie dyscyplin przedklinicznych, które obejmują grupę przedmiotów z dziedziny patologii (anatomia patologiczna, patofizjologia) i grupę przedmiotów lekarsko-społecznych (farmakologia, mikrobiologia, psychologia lekarska, socjologia medycyny itd.). Na dalszych latach studiów (IV, V, VI rok) przeważają dyscypliny kliniczne. Jest to okres studiów, w którym zdobyta wcześniej wiedza służy rozwiązywaniu praktycznych problemów lekarskich i uzupełniana jest wiedzą właściwą dla danej dyscypliny klinicznej. Studiowanie dyscyplin podstawowych i medycyny klinicznej uzupełniają obowiązkowe praktyki. Są to praktyki z zakresu pielęgniarstwa, w przychodniach lecznictwa otwartego, w laboratoriach, w stacjach sanitarno-epidemiologicznych oraz na oddziałach chorób wewnętrznych i na oddziałach zabiegowych. Po ukończeniu studiów i uzyskaniu dyplomu lekarza wszyscy absolwenci zobowiązani są do odbycia rocznego stażu w zakresie czterech podstawowych dyscyplin klinicznych (choroby wewnętrzne, chirurgia, położnictwo wraz z ginekologią oraz choroby dzieci). Odbycie stażu daje dopiero prawo do samodzielnego wykonywania zawodu lekarza. Na tym jednak kształcenie lekarza nie kończy się. Wiedza wyniesiona ze studiów, ze względu na dynamicznie rozwijające się obecnie nauki medyczne, wystarcza zaledwie na kilka lat, a potem wymaga uzupełnienia najczęściej przez kształcenie lub samokształcenie. Kształcenie i samokształcenie absolwentów akademii medycznych jest ujęte w ramy sformalizowanego systemu specjalizacji, studiów podyplomowych, kursów doskonalących (ogólnolekarskich i specjalistycznych) itp.. Można powiedzieć, że kształcenie lekarza trwa do końca jego życia, bowiem w okresie trwania praktyki zawodowej posiadana wiedza stopniowo się dezaktualizuje.
STUDENCI MEDYCYNY – co skłania młodych ludzi do podjęcia studiów, a co ich zniechęca, co wpływa na ilość przyjmowanych kandydatów
Zainteresowania
Podjęcie studiów lekarskich częstokroć jest poprzedzone wcześniejszym zainteresowaniem się tematyką medyczną, czy to przez ogólnie dostępne książki, czasopisma, czy też za sprawą dobrego nauczyciela z biologii.
Prestiż
Tradycyjnie ugruntowane przekonanie o wysokiej randze zawodu lekarza to jeden z podstawowych motywów, którym kierują się młodzi ludzie decydując się na podjęcie studiów medycznych. O dużej popularność studiów medycznych świadczy fakt, iż coroczna liczba kandydatów na te studia kilkakrotnie przewyższa ilość dostępnych miejsc.
Powołanie
Młodzi ludzie często przychodzą na studia medyczne z zamiarem niesienia ludziom otuchy i pomocy. Wielu pragnie w przyszłości poświęcić się innym, aby zmniejszyć ich cierpienie. W toku studiów stykają się jednak nieraz z innymi wzorami postępowania, wobec czego szybko rezygnują ze swoich ideałów, a niejednokrotnie także z dalszych studiów.
Proces kształcenia
Studia medyczne są zdecydowanie bardziej intensywne i przez to znacznie trudniejsze niż inne studia, wymagają bardzo dużego samozaparcia i wielu wyrzeczeń - nie ma tu mowy o "życiu studenckim". Uświadomienie sobie, jak długotrwały jest proces kształcenia lekarza, prowadzi do dłuższego zastanowienia się nad decyzją podjęcia studiów medycznych i do rezygnacji z nich w przypadku braku motywacji wewnętrznej.
Lekarz bez specjalizacji jest obecnie lekarzem bez szans, co w wyniku daje
nie 6 ale 8 i więcej lat nauki. Przygotowanie do zawodu jest często mierne - a to z powodu małej ilości zajęć praktycznych - na praktykach (w pierwszych latach studiów) studenci często przydają się jedynie do sprzątania po pacjentach; a także z powodu fatalnego zaplecza naukowego niektórych uczelni.
Uczelnie rozsiane po całej Polsce mają odmienne programy nauczania, przez co jedne z nich wypuszczają lepiej, inne - gorzej przygotowanych do zawodu
lekarzy.
Stypendia
Otrzymywane stypendia naukowe, czy stypendia socjalne mogą często mieć ogromny wpływ na sytuację materialną studentów, a tym samym na możliwości ich studiowania na danej uczelni.
Praca
Znajomość perspektyw zawodowych absolwentów akademii medycznych jest jednym z czynników, które wyznaczają efektywność uczenia się oraz kształtują motywację i poziom aspiracji studentów. Obecnie perspektywy dla przyszłych lekarzy nie są zachwycające. Ubywa miejsc pracy. Szpitale zmuszone są likwidować oddziały. W placówkach jednostek badawczo – rozwojowych przeprowadzane są znaczne redukcje etatów.
Powszechnie uważa się, że najłatwiej wystartować stomatologom – nietrudno założyć własny gabinet (nawet w bloku mieszkalnym); wiąże się to oczywiście
z zainwestowaniem pewnej kwoty pieniędzy - ale od czego są kredyty. Prywatna praktyka stomatologiczna to praca w wyznaczonych przez siebie godzinach, dobrze płatna, często w domu. Prywatna praktyka lekarska (także specjalistyczna) - to już trudniejsza sprawa - koszta są znacznie większe, potrzeba do tego większego gabinetu. Lekarze pełnoetatowi w szpitalach - zarobki niskie, praca ciężka - dyżury
nocne, brak zabezpieczenia socjalnego i jakichkolwiek gwarancji socjalnych;
często praca przy braku zaplecza technicznego; do tego narzekania pacjentów.
Zarobki
Mało jest osób, które idą na medycynę dla pieniędzy - z pracą jest naprawdę ciężko, w zasadzie student bez motywacji nie ma szans przetrwać.
Lekarze na początku mogą liczyć na wypłaty rzędu 1000-1200 PLN. Największe zarobki mają oczywiście członkowie kas chorych - absurdalnie wysokie; jak głoszą plotki sprzątaczka w kasie chorych zarabia więcej niż anestezjolog, niezbędny przy
każdym zabiegu inwazyjnym. Praca w kasach chorych to praca w godzinach
9.00-15.30, świetnie płatna, polegająca na podbijaniu druczków i pracy przy
bardzo nowoczesnym komputerze, w budynku dorównującym wyglądem najnowszym
placówkom banków.
Lekarze specjaliści z wieloletnim stażem mogą liczyć na zarobki do 2000
PLN, wliczając w to dyżury nocne; do tego co nieco od pacjentów - w większości pieniądze, alkohol - "aby popchnąć sprawy".
Ordynatorzy, dyrektorzy szpitali - duże zarobki; przy czym ordynator pracuje jako lekarz, a dyrektor niestety zajmuje się tylko (w większości przypadków) papierkową robotą.
Wydatki na ochronę zdrowia
Wydatki z budżetu państwa na opiekę zdrowotną nie pokrywają rzeczywistych potrzeb placówek ochrony zdrowia. Wyposażenie szpitali jest bardzo ubogie i nie zapewnia studentom efektywnego przyswajania wiedzy, a lekarzom - skutecznego leczenia.
Leczeni
Wyższy poziom zachorowalności na różnorodne choroby wśród społeczeństwa powoduje wzrost zapotrzebowania na wykwalifikowaną służbę medyczną, co skłania akademie medyczne do otwarcia większej liczby miejsc na poszczególnych kierunkach.
Nastawienie pacjentów do lekarzy
Wśród pacjentów częstokroć krąży nie najlepsza opinia o lekarzach. Skąd takie nastawienie? Lekarze pierwszego kontaktu (lekarze rodzinni) są fatalnie przygotowani do zawodu. Pacjenci często wiedzą więcej np. o mammografii niż wymienieni wyżej lekarze, co powoduje często konflikty, lekarze ci są opieszali, nie wykonują rutynowych badań. Często w szpitalach po prostu brak jest niezbędnego sprzętu medycznego - niezadowolenie pacjentów znowu skupia się na lekarzach.
MOJA ANALIZA PROBLEMU
Problem, którym zajęłam się w mojej analizie, to określenie, jakie czynniki mają wpływ na liczbę absolwentów akademii medycznych.
Dla celów mojej pracy przyjęłam próbkę 14 obserwacji liczby absolwentów akademii medycznych w Polsce w latach 1985 – 1998, której wartości przedstawiłam na poniższym wykresie:
Ze względu na ograniczoną ilość czynników, których dane statystyczne są ogólnie dostępne, musiałam zawężyć krąg zmiennych mających wpływ na przedmiot moich badań.
Poniżej zaprezentowałam wszystkie wybrane czynniki oraz ich wartości w danym przedziale czasowym:
X1 liczba szkół wyższych w Polsce innych niż akademie medyczne
X2 liczba przydzielonych stypendiów naukowych na akademiach medycznych
X3 liczba pracowników w jednostkach badawczo-rozwojowych w dziedzinie nauk medycznych
X4 wydatki z budżetu na ochronę zdrowia [USD]
X5 PKB [USD]
X6 wynagrodzenia miesięczne lekarza [USD]
X7 liczba wydawanych czasopism medycznych
X8 liczba książek medycznych [nakład w tys. egzemplarzy]
X9 liczba zapomóg przyznawanych studentom akademii medycznych
X10 leczeni w szpitalach ogólnych [tys. osób]
X11 kandydaci na akademie medyczne, którzy przystąpili do egzaminu, lecz nie zostali przyjęci
lata absolwenci inne
szkoły stypendia
naukowe pracownicy
jednostek B+R wydatki na
ochronę zdrowia PKB wynagrodzenia czasopisma książki zapomogi leczeni nie
dostali
się
85 5167 81 245 8075 2725 70630 178 151 8292 1548 4099 12234
86 5102 81 262 8358 2587 65545 163 141 9667 1212 4115 10156
87 5043 81 263 8089 2053 53685 121 155 11595 1128 4300 9787
88 5019 81 321 5730 2176 58957 132 157 10711 976 4523 8122
89 5012 86 367 5084 618 18203 41 152 8387 834 4520 7050
90 5418 100 431 4124 3439 62265 195 150 5526 946 4597 7560
91 5774 100 469 4237 3546 75233 265 158 4340 1514 4680 7721
92 6388 112 474 3917 3598 72902 297 160 4685 1522 4742 8015
93 5945 129 521 3647 3342 72985 280 190 4190 924 4989 8993
94 5701 150 962 2590 3905 86332 316 228 3123 1320 5186 9002
95 5490 168 6019 2508 5321 124116 413 252 2362 1465 5277 8003
96 5129 202 5942 2346 5822 134046 441 311 2435 710 5472 6254
97 4077 235 5986 2104 5177 128630 451 311 2685 659 5489 5856
98 4217 255 6331 2080 5987 157260 453 361 2992 554 5534 5990
Analiza statystyczna zmiennej objaśnianej
Łrednia, wariancja oraz odchylenie standardowe
Dla pobranej próby średnia, wariancja oraz odchylenie standardowe mają następujące wartości:
Variable: DANE.absolwenci
----------------------------------------------------------------------
Sample size 14
Average 5248.71
Median 5148
Variance 383166
Standard deviation 619.004
Standard error 165.436
Minimum 4077
Maximum 6388
Range 2311
----------------------------------------------------------------------
S2 = 383166
= 5248.71
S = 619.004
Wartości wariancji i odchylenia standardowego wskazują na niezbyt duże, ale wystarczające rozproszenie wartości próbki. Współczynnik zmienności przyjmuje wartość:
0.1179 = 11.79 %
Histogram
Nieparametryczne testy istotności
Weryfikacja hipotezy dotyczącej losowości próbki
Weryfikację hipotezy H0 dotyczącej losowości zmiennej objaśnianej przeprowadziłam za pomocą testu serii.
Kolejnym wartościom yi przypisałam symbole:
A – dla yi – liczba parzysta,
B – dla yi – liczba nieparzysta.
yi symbol
5167 B
5102 A
5043 B
5019 B
5012 A
5418 A
5774 A
6388 A
5945 B
5701 B
5490 A
5129 B
4077 B
4217 B
Otrzymałam w ten sposób ciąg złożony z symboli A i B:
BABBAAAABBABBB,
w którym można zauważyć serie, czyli podciągi złożone z kolejnych elementów jednego rodzaju. Stąd określiłam liczbę serii k empiryczne.
k = 7
Z tablic liczby serii odczytałam, dla przyjętego poziomu istotności oraz dla n1(liczba symboli A) i n2 (liczba symboli B), wartość krytyczną k1 i k2.
n1 = 6,
n2 = 8,
k1 = 4 dla = 0.05,
k2 = 11 dla = 0.95.
Otrzymane k spełnia zależność:
k1 < k < k2,
dlatego przyjęłam hipotezę o losowości próbki.
Przedziały ufności
Na poziomie ufności 0.95 (ryzyko błędu = 0.05), przy założeniu o normalności rozkładu badanej cechy, wyznaczę przedziały ufności dla średniej i wariancji.
Przedział ufności dla wartości przeciętnej
Wykorzystywana jest statystyka:
posiadająca rozkład t Studenta o n - 1 stopniach swobody.
Przedziałem ufności dla wartości przeciętnej, na poziomie ufności , jest zbiór:
gdzie:
t(x,y) - kwantyl rzędu x rozkładu t Studenta o y stopniach swobody.
Wyniki, które uzyskałam wykorzystując pakiet STATGRAPHICS:
One-Sample Analysis Results
---------------------------------------------------------------------------
DANE.absolwenci
Sample Statistics: Number of Obs. 14
Average 5248.71
Variance 383166
Std. Deviation 619.004
Median 5148
Confidence Interval for Mean: 95 Percent
Sample 1 4891.22 5606.21 13 D.F.
---------------------------------------------------------------------------
Zatem przedziałem ufności dla wartości przeciętnej jest zbiór (4891.22;5606.21).
Przedziały ufności dla wariancji
Wykorzystywana jest statystyka:
posiadająca rozkład 2 o n - 1 stopniach swobody.
Przedziałem ufności dla wariancji, na poziomie ufności , jest zbiór:
Wyniki, które uzyskałam wykorzystując pakiet STATGRAPHICS:
---------------------------------------------------------------------------
Confidence Interval for Variance: 95 Percent
Sample 1 201376 994506 13 D.F.
---------------------------------------------------------------------------
Zatem przedziałem ufności jest dla wariancji zbiór (201376;994506).
Parametryczne testy istotności
Przy założeniu o normalności rozkładu badanej cechy, zweryfikowane zostaną hipotezy dotyczące wartości przeciętnej i wariancji.
Weryfikacja hipotezy dotyczącej wartości przeciętnej
m0 = 5248
Zweryfikowana zostanie następująca hipoteza:
H0: wartość przeciętna m = m0
Wobec następujących hipotez alternatywnych:
K1: wartość przeciętna m m0
K2: wartość przeciętna m > m0
K3: wartość przeciętna m < m0
Do weryfikacji hipotezy posłuży statystyka t wyrażająca się
wzorem:
Statystyka powyższa ma, przy założeniu prawdziwości weryfikowanej hipotezy, rozkład t Studenta o n - 1 stopniach swobody. Dla odpowiednich hipotez alternatywnych zbiorami krytycznymi są:
1. (- ; - t(1 - /2, n - 1) > < t(1 - /2, n - 1); + )
2. < t(1 - , n - 1); + )
3. (- ; - t(1 - , n - 1) >
gdzie:
- poziom istotności;
t(x,y) - kwantyl rzędu x rozkładu t Studenta o y stopniach swobody.
Weryfikowaną hipotezę należy odrzucić, gdy obliczona z próby wartość statystyki t należy do zbioru krytycznego, w przeciwnym razie nie ma podstaw do odrzucenia tej hipotezy.
Weryfikacja postawionej hipotezy przeprowadzona zostanie na poziomie istotności
= 0.05.
Uzyskałam następujące wyniki:
Hypothesis Test for H0: Mean = 5248
Computed t statistic = 4.3176E-3
Przeprowadzone testy wykazały, że nie ma podstaw do odrzucenia tych hipotez na danym poziomie istotności, gdyż wartości Sig. Level są większa od założonego poziomu istotności.
K1: m 5248
vs Alt: NE
Sig. Level = 0.996621 at Alpha = 0.05
so do not reject H0
K2: m > 5248
vs Alt: GT
Sig. Level = 0.49831 at Alpha = 0.05
so do not reject H0
K3: m < 5248
vs Alt: LT
Sig. Level = 0.50169 at Alpha = 0.05
so do not reject H0
Weryfikacja hipotezy dotyczącej wariancji
02 = 383166
Zweryfikowana zostanie następująca hipoteza:
H0: wariancja 2 = 02
Wobec następujących hipotez alternatywnych:
K1: wariancja 2 02
K2: wariancja 2 > 02
K3: wariancja 2 < 02
Do weryfikacji hipotezy posłuży statystyka 2.
Dla odpowiednich hipotez alternatywnych zbiorami krytycznymi są:
1. (0; 2(/2, n - 1) > < 2(1 - /2, n - 1); + )
2. < 2(1 - , n - 1); + )
3. (0; 2(, n - 1) >
Weryfikowaną hipotezę należy odrzucić, gdy obliczona z próby wartość statystyki 2 należy do zbioru krytycznego, w przeciwnym wypadku nie ma podstaw do odrzucenia tejże hipotezy.
Weryfikację hipotezy dotyczącej wariancji przeprowadzę przy użyciu tablic statystycznych na poziomie istotności = 0.05.
Wartość statystyki testowej wynosi:
14
Przedziały krytyczne mają dla odpowiednich hipotez alternatywnych następującą postać:
1. (0; 5.009 > < 24.736; + )
2. < 22.362; + )
3. (0; 5.892 >
Ponieważ obliczona statystyka z próby nie należy do żadnego z powyższych przedziałów, dla każdej z hipotez alternatywnych: K1, K2 oraz K3 nie ma podstaw, na poziomie istotności = 0.05, do odrzucenia hipotezy H0.
Testowanie hipotez dotyczących rozkładu zmiennej objaśnianej
Testowanie normalności rozkładu
W celu zweryfikowania hipotezy dotyczącej normalności rozkładu zmiennej objaśnianej zastosowałam test Hellwiga.
Weryfikuję hipotezę:
H0: F(Y) = FN(Y)
wobec hipotezy alternatywnej
H1: F(Y) FN(Y),
gdzie: FN(Y) – dystrybuanta rozkładu normalnego o parametrach ( , S), gdzie:
S - odchylenie standardowe z próby,
- średnia z próby.
Uporządkowałam wartości próbki rosnąco (kolumna 2), dokonałam ich standaryzacji (kolumna 3), a następnie odczytałam wartości dystrybuanty dla każdej standaryzowanej obserwacji (kolumna 4). Odcinek [0,1] podzieliłam na 14 cel równej długości, których przedziały są wypisane w kolumnie 5.
1 2 3 4 5
yi yi rosnąco ui =
(ui) Ii
5167 4077 -1.892903466 0.0294 0 - 0.0714
5102 4217 -1.666733581 0.0485 0.0714 - 0.1429
5043 5012 -0.382411734 0.352 0.1429 - 0.2143
5019 5019 -0.37110324 0.3557 0.2143 - 0.2857
5012 5043 -0.33233126 0.3707 0.2857 - 0.3571
5418 5102 -0.237016808 0.409 0.3571 - 0.4286
5774 5129 -0.19339833 0.4247 0.4286 - 0.5000
6388 5167 -0.132009361 0.4483 0.5000 - 0.5714
5945 5418 0.273480932 0.6064 0.5714 - 0.6429
5701 5490 0.389796873 0.648 0.6429 - 0.7143
5490 5701 0.7306672 0.7673 0.7143 - 0.7857
5129 5774 0.84859864 0.7995 0.7857 - 0.8571
4077 5945 1.124849 0.8686 0.8571 - 0.9286
4217 6388 1.840515136 0.9671 0.9286 - 1
= 5248.714
S = 619.0037
Poniżej zaznaczyłam, ile wartości dystrybuanty wpadło do każdej z cel i otrzymałam h¬0 = 4 cele puste.
** ** *** * * * * * * *
0 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286 1
Z tablic do testu Hellwiga odczytałam wartość krytyczną h¬1- = 8 dla n = 14 i = 0.05.
Ponieważ h¬1- = 8 i h¬0 = 4, stąd zachodzi nierówność h¬0 < h¬1-, co oznacza, iż nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H0: F(Y) = FN(Y).
Podsumowanie statystycznej analizy zebranych danych
Na podstawie przeprowadzonych testów oraz obliczeń stwierdzić można, iż:
pobrana próbka jest losowa na poziomie istotności = 0.05 wg testu serii;
badana cecha ma w populacji generalnej rozkład normalny N(5248;619) na poziomie istotności = 0.05;
wartość przeciętna próbki jest zawarta w przedziale (4891.22;5606.21) z prawdopodobieństwem 0.95;
wariancja próbki jest zawarta w przedziale (201376;994506) z prawdopodobieństwem 0.95;
na poziomie istotności = 0.05 wartość przeciętna populacji m = 5248, natomiast wariancja 2 = 355796.
Analiza wariancji (metoda ANOVA)
analiza wpływu zaproponowanych zmiennych na zmienną objaśnianą
Analiza wariancji jest metodą analizy danych eksperymentalnych, służy do oceny wpływu jednego lub większej liczby czynników klasyfikacyjnych na badane zjawisko. Jest to metoda statystyki matematycznej, bazująca na porównaniu wariancji. Jednym z częściej rozwiązywanych za jej pomocą problemów jest analiza czynników zewnętrznych wpływających na wynik przeprowadzonego doświadczenia.
Celem ćwiczenia jest sprawdzenie hipotez, czy na wielkość skupu zboża mają wpływ następujące czynniki:
X1 liczba szkół wyższych w Polsce innych niż akademie medyczne
X2 liczba przydzielonych stypendiów naukowych na akademiach medycznych
X3 liczba pracowników w jednostkach badawczo-rozwojowych w dziedzinie nauk medycznych
X4 wydatki z budżetu na ochronę zdrowia [USD]
X5 PKB [USD]
X6 wynagrodzenia miesięczne lekarza [USD]
X7 liczba wydawanych czasopism medycznych
X8 liczba książek medycznych [nakład w tys. egzemplarzy]
X9 liczba zapomóg przyznawanych studentom akademii medycznych
X10 leczeni w szpitalach ogólnych [tys. sztuk]
X11 kandydaci na akademie medyczne, którzy przystąpili do egzaminu, lecz nie zostali przyjęci
Badanie współczynnika zmienności
Zbadałam, czy został spełniony podstawowy warunek uznania zmiennych za zmienne objaśniające modelu ekonometrycznego, czyli sprawdziłam, czy wśród moich danych nie występują zmienne o zbyt niskiej zmienności. Posłużyłam się w tym celu statystyką:
gdzie:
Vi - współczynnik zmienności
Si - odchylenie standardowe z próby
x̅i - średnia z próby
i - numer zmiennej
ZMIENNA ŁREDNIA X̅i ODCHYLENIE Si WSPÓ£CZYNNIK ZMIENNOŁCI Vi
X1 132,9286 58,07811 0,436912
X2 2042,357 2553,922 1,250477
X3 4492,071 2196,262 0,48892
X4 3592,143 1497,443 0,416866
X5 84341,64 36513,41 0,432923
X6 267,2143 130,4187 0,488068
X7 205,5 71,53995 0,348126
X8 5785 3156,542 0,545643
X9 1093,714 330,5952 0,302268
X10 4823,071 485,1055 0,10058
X11 8195,929 1692,325 0,206484
Za wartość krytyczną V *, czyli minimum współczynnika zmienności przyjęłam wartość V* = 0,10. Następnie przyrównałam kolejno otrzymane wartości Vi z ustalonym minimum. Jeśli Vi < V *, to zmienna Xi jest eliminowana, gdyż jest to tzw. quasi – stała.
Nie ma podstaw do odrzucenia żadnej z moich zmiennych, gdyż wszystkie przekraczają wartość krytyczną.
W celu weryfikacji hipotezy o wpływie jednej zmiennej jakościowej na zmienną ilościową posłużyć się można jednoczynnikową (jednokierunkową) analizą wariancji.
W związku z tym, że zmienne te są wyrażone ilościowo, a analizę wariancji możemy przeprowadzić tylko na zmiennych jakościowych podzieliłam każdy czynnik na trzy grupy według wielkości. Pierwsza grupa (I) jest grupą o najmniejszych wielkościach, druga (II) - o średnich, trzecia (III) - o największych.
CZYNNIK GRUPA I GRUPA II GRUPA III
X1 81 - 139 139 - 197 197 - 255
X2 245 - 2273 2273 - 4302 4302 - 6331
X3 2080 - 4172 4172 - 6265 6265 - 8358
X4 617 - 2407 2407 - 4197 4197 - 5987
X5 18202 - 64554 64554 - 110907 110907- 157260
X6 41 - 178 178 - 315 315 - 453
X7 141 - 214 214 - 287 287 - 361
X8 2362 - 5439 5439 - 8517 8517- 11595
X9 554 - 885 885 - 1216 1216 - 1548
X10 4099 - 4577 4577- 5055 5055 - 5534
X11 5856 - 7982 7982 - 10108 10108 - 12234
Dla każdej wielkości zmiennej objaśnianej w poszczególnych latach przyporządkowałam odpowiednią grupę każdego czynnika:
LATA
Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11
1985 5167 I I III II II I I II III I III
1986 5102 I I III II I I I III II I III
1987 5043 I I III I I I I III II I II
1988 5019 I I II I I I I III II I II
1989 5012 I I II I I I I II I I I
1990 5418 I I I II I II I II II II I
1991 5774 I I II II II II I I III II I
1992 6388 I I I II II II I I III II II
1993 5945 I I I II II II I I II II II
1994 5701 II I I II II III II I III III II
1995 5490 II III I III III III II I III III II
1996 5129 III III I III III III III I I III I
1997 4077 III III I III III III III I I III I
1998 4217 III III I III III III III I I III I
Analizę wariancji można przeprowadzić jedynie wtedy, gdy spełnione są założenia:
wariancja dla kolejnych czynników we wszystkich grupach jest jednakowa,
zmienna objaśniana dla określonego czynnika ma w poszczególnych grupach rozkład normalny.
Badanie homogeniczności wariancji
Dla wszystkich czynników przeprowadziłam test hipotezy:
H0: wariancja dla kolejnych czynników we wszystkich grupach jest jednakowa,
wobec hipotezy alternatywnej:
H1: istnieją co najmniej dwie grupy o różnych wariancjach.
W pakiecie STATGRAPHICS dostępne są trzy testy weryfikacji hipotezy H. W praktycznych zastosowaniach najbardziej popularnym testem jest test Barlett’a na homogeniczność wariancji, który wykorzystałam do weryfikacji hipotezy H0¬.
Wyniki testu obliczone na poziomie istotności = 0.05:
Dla czynnika X1:
Bartlett's test: 1.09534 P = 0.671077
Multiple range analysis for DANE.szkoly by GRUPY.szkoly
Method: 95 Percent Confidence Intervals
Level Count Average Homogeneous Groups
1 9 94.55556 *
2 2 159.00000 *
3 3 230.66667 *
Dla czynnika X2:
Bartlett's test: 1.01087 P = 0.7336
Multiple range analysis for DANE.stypendia by GRUPY.stypendia
Method: 95 Percent Confidence Intervals
Level Count Average Homogeneous Groups
1 10 431.5000 *
3 4 6069.5000 *
Dla czynnika X3:
Bartlett's test: 1.50279 P = 0.148658
Multiple range analysis for DANE.pracownicy by GRUPY.pracownicy
Method: 95 Percent Confidence Intervals
Level Count Average Homogeneous Groups
1 8 2914.5000 *
2 3 5017.0000 *
3 3 8174.0000 *
Dla czynnika X4:
Bartlett's test: 1.192 P = 0.432198
Multiple range analysis for DANE.wydatki by GRUPY.wydatki
Method: 95 Percent Confidence Intervals
Level Count Average Homogeneous Groups
1 3 1614.6667 *
2 7 3305.5714 *
3 4 5576.7500 *
Dla czynnika X5:
Bartlett's test: 1.47887 P = 0.147334
Multiple range analysis for DANE.pkb by GRUPY.pkb
Method: 95 Percent Confidence Intervals
Level Count Average Homogeneous Groups
1 5 51730.40 *
2 5 75616.00 *
3 4 136012.75 *
Dla czynnika X6:
Bartlett's test: 1.0199 P = 0.908064
Multiple range analysis for DANE.place by GRUPY.place
Method: 95 Percent Confidence Intervals
Level Count Average Homogeneous Groups
1 5 126.60000 *
2 4 258.75000 *
3 5 414.60000 *
Dla czynnika X7:
Bartlett's test: 1.23587 P = 0.395501
Multiple range analysis for DANE.czasopisma by GRUPY.czasopisma
Method: 95 Percent Confidence Intervals
Level Count Average Homogeneous Groups
1 9 157.11111 *
2 2 240.00000 *
3 3 327.66667 *
Dla czynnika X8:
Bartlett's test: 1.12246 P = 0.582411
Multiple range analysis for DANE.ksiazki by GRUPY.ksiazki
Method: 95 Percent Confidence Intervals
Level Count Average Homogeneous Groups
1 8 3351.500 *
2 3 7401.667 *
3 3 10657.667 *
Dla czynnika X9:
Bartlett's test: 1.04 P = 0.825331
Multiple range analysis for DANE.zapomogi by GRUPY.zapomogi
Method: 95 Percent Confidence Intervals
Level Count Average Homogeneous Groups
1 4 689.2500 *
2 5 1037.2000 *
3 5 1473.8000 *
Dla czynnika X10:
Bartlett's test: 1.03831 P = 0.83192
Multiple range analysis for DANE.leczeni by GRUPY.leczeni
Method: 95 Percent Confidence Intervals
Level Count Average Homogeneous Groups
1 5 4311.4000 *
2 4 4752.0000 *
3 5 5391.6000 *
Dla czynnika X11:
Bartlett's test: 1.10866 P = 0.627693
Multiple range analysis for DANE. niedostalisie by GRUPY.niedostalisie
Method: 95 Percent Confidence Intervals
Level Count Average Homogeneous Groups
1 6 6738.500 *
2 6 8653.667 *
3 2 11195.000 *
Wnioski:
Na poziomie istotności = 0.05 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o homogeniczności wariancji w grupach dla żadnego z czynników, gdyż dla wszystkich poziomy istotności P dla testu Bartlett’a są większe od 0.05.
Zmienne spełniły założenia konieczne do analizy wariancji, więc przeszłam do wykonania tej procedury.
Jednokierunkowa analiza wariancji
Dla wszystkich czynników przeprowadziłam test hipotezy:
H0: średnie we wszystkich grupach są jednakowe (poszczególne zmienne objaśniające nie mają wpływu na zmienną objaśnianą)
wobec hipotezy alternatywnej:
H1: istnieją co najmniej dwie grupy o różnych średnich.
Jednoczynnikową analizę wariancji przeprowadziłam w opcji J.1. One - Way Analysis of Variance pakietu STATGRAPHICS.
Wyniki analizy dla poszczególnych czynników są następujące:
Dla czynnika X1:
Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig.level
Between groups 43270.040 2 21635.020 60.205 .0000
Within groups 3952.889 11 359.354
Total (corrected) 47222.929 13
Dla czynnika X2:
Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig.level
Between groups 90820126 1 90820126 999.999 .0000
Within groups 495090 12 41257
Total (corrected) 91315215 13
Dla czynnika X3:
Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig.level
Between groups 61406297 2 30703148 55.153 .0000
Within groups 6123628 11 556693
Total (corrected) 67529925 13
Dla czynnika X4:
Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig.level
Between groups 28060761 2 14030380 46.320 .0000
Within groups 3331935 11 302903
Total (corrected) 31392696 13
Dla czynnika X5:
Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig.level
Between groups 1.6378E0010 2 8.1889E0009 39.379 .0000
Within groups 2.2874E0009 11 2.0795E0008
Total (corrected) 1.8665E0010 13
Dla czynnika X6:
Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig.level
Between groups 207761.21 2 103880.60 37.632 .0000
Within groups 30365.15 11 2760.47
Total (corrected) 238126.36 13
Dla czynnika X7:
Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig.level
Between groups 68227.944 2 34113.972 109.609 .0000
Within groups 3423.556 11 311.232
Total (corrected) 71651.500 13
Dla czynnika X8:
Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig.level
Between groups 1.2644E0008 2 63222426 53.300 .0000
Within groups 1.3048E0007 11 1186159
Total (corrected) 1.3949E0008 13
Dla czynnika X9:
Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig.level
Between groups 1392660.5 2 696330.25 55.729 .0000
Within groups 137444.4 11 12494.94
Total (corrected) 1530104.9 13
Dla czynnika X10:
Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig.level
Between groups 2945366.5 2 1472683.3 46.388 .0000
Within groups 349216.4 11 31746.9
Total (corrected) 3294582.9 13
Dla czynnika X11:
Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig.level
Between groups 31990592 2 15995296 21.709 .0002
Within groups 8104901 11 736809
Total (corrected) 40095493 13
Powyższe wyniki analizy wariancji wskazują, że dla żadnego czynnika nie można przyjąć hipotezy H0 o braku wpływu na zmienną objaśnianą, gdyż dla wszystkich wartość Sig.level jest niższa od założonego = 0.05. Stąd wynika, iż wyżej wymienione czynniki mają wpływ na wielkość zmiennej objaśnianej.
Budowa modelu ekonometrycznego
Badanie autokorelacji
W celu zbadania, czy korelacja pomiędzy zmiennymi jest istotna posłużyłam się macierzą współczynników korelacji, którą uzyskałam z procedury zamieszczonej w pakiecie STATGRAPHICS.
Macierz współczynników korelacji:
Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11
Y 1.0000 -.4979 -.5355 0.0404 -.2151 -.3948 -.1883 -.5426 -.0758 0.6870 -.2460 0.3470
X1 -.4979 1.0000 0.9180 -.7942 0.8805 0.9194 0.9103 0.9849 -.7716 -.5594 0.9285 -.6791
X2 -.5355 0.9180 1.0000 -.6829 0.8584 0.9111 0.8579 0.9343 -.6712 -.4721 0.8417 -.6377
X3 0.0404 -.7942 -.6829 1.0000 -.7417 -.6654 -.7972 -.7431 0.9083 0.3689 -.9404 0.7824
X4 -.2151 0.8805 0.8584 -.7417 1.0000 0.9699 0.9771 0.8631 -.8323 -.2457 0.8433 -.5045
X5 -.3948 0.9194 0.9111 -.6654 0.9699 1.0000 0.9513 0.9237 -.7325 -.3275 0.8252 -.4844
X6 -.1883 0.9103 0.8579 -.7972 0.9771 0.9513 1.0000 0.8786 -.8790 -.2411 0.8945 -.5325
X7 -.5426 0.9849 0.9343 -.7431 0.8631 0.9237 0.8786 1.0000 -.7068 -.5770 0.9083 -.6453
X8 -.0758 -.7716 -.6712 0.9083 -.8323 -.7325 -.8790 -.7068 1.0000 0.1396 -.8641 0.5595
X9 0.6870 -.5594 -.4721 0.3689 -.2457 -.3275 -.2411 -.5770 0.1396 1.0000 -.4800 0.6604
X10 -.2460 0.9285 0.8417 -.9404 0.8433 0.8252 0.8945 0.9083 -.8641 -.4800 1.0000 -.7480
X11 0.3470 -.6791 -.6377 0.7824 -.5045 -.4844 -.5325 -.6453 0.5595 0.6604 -.7480 1.0000
Przeprowadziłam weryfikację hipotezy dotyczącej istotności współczynników korelacji pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi:
H0: rij = 0 dla i j.
W tym celu obliczyłam wartość krytyczną współczynnika korelacji r* według wzoru:
,
gdzie:
n - liczba obserwacji,
- wartość statystyki t - Studenta dla przyjętego poziomu istotności o (n-2) stopniach swobody.
Dla = 0.05 i n – 2 = 12 stopni swobody = 2.1788, stąd r* = 0.5324.
Współczynniki korelacji spełniające relację:
|rij| r* dla i j,
są statystycznie nieistotne, więc wyeliminowałam je ze zbioru zmiennych uzyskując listę tych, które są wystarczająco skorelowane ze zmienną objaśnianą:
X2 liczba przydzielonych stypendiów naukowych na akademiach medycznych
X7 liczba wydawanych czasopism medycznych
X9 liczba zapomóg przyznawanych studentom akademii medycznych
Na tym etapie nie selekcjonowałam zmiennych do dalszej analizy i wprowadziłam wszystkie zmienne objaśniające do kolejnego etapu budowy modelu.
Metoda regresji krokowej
Do budowy modelu zastosowałam procedurę Forward, która polega na wyborze zmiennych objaśniających poprzez dołączanie kolejnych zmiennych do optymalnie wybranego zbioru.
Poniżej przedstawiłam wyniki zastosowania tej metody:
Stepwise Selection for DANE.absolwenci
---------------------------------------------------------------------------
Selection: Forward Maximum steps: 500 F-to-enter: 4.00
Control: Automatic Step: 1 F-to-remove: 4.00
R-squared: .47195 Adjusted: .42794 MSE: 219193 d.f.: 12
Variables in Model Coeff. F-Remove Variables Not in Model P.Corr. F-Enter
---------------------------------------------------------------------------
9. DANE.zapomogi 1.23951 10.7250 1. DANE.szkoly .1887 .4061
2. DANE.stypendia .3296 1.3410
3. DANE.pracownicy .3154 1.2152
4. DANE.wydatki .0657 .0477
5. DANE.pkb .2473 .7166
6. DANE.place .0322 .0114
7. DANE.czasopisma .2463 .7105
8. DANE.ksiazki .2387 .6643
10. DANE.leczeni .1313 .1931
11. DANE.niedostalisie .1955 .4373
Model fitting results for: DANE.absolwenci
---------------------------------------------------------------------------
Independent variable coefficient std. error t-value sig.level
---------------------------------------------------------------------------
CONSTANT 3893.041928 432.455759 9.0022 0.0000
DANE.zapomogi 1.239512 0.378488 3.2749 0.0066
---------------------------------------------------------------------------
R-SQ. (ADJ.) = 0.4279 SE = 468.180321 MAE = 354.956513 DurbWat = 1.103
14 observations fitted, forecast(s) computed for 0 missing val. of dep.var.
Do modelu wybrana została jedna zmienna:
X9 liczba zapomóg przyznawanych studentom akademii medycznych,
która jest wystarczająco skorelowana ze zmienną objaśnianą, co wykazałam podczas analizy współczynników korelacji.
Oszacowaną liniową funkcję regresji mogę zapisać następująco:
,
gdzie:
- liczba absolwentów akademii medycznych,
X - liczba zapomóg przyznawanych studentom akademii medycznych.
Standardowe błędy ocen powyższych parametrów wynoszą odpowiednio:
dla wartości stałej: 432.455759,
dla zmiennej X: 0.378488.
Wartość statystyki t – Studenta obliczona jako iloraz oceny parametrów i standardowych błędów ocen:
dla zmiennej X: 3.2749.
Prowadzi ona, na poziomie istotności = 0.05, do odrzucenia hipotezy o tym, iż wielkość zmiennej X nie wpływa na wartość zmiennej objaśnianej – Sig. Level:
dla zmiennej X: 0.0066 < 0.05.
Dodatnia wartość współczynnika regresji przy zmiennej X świadczy o dodatniej zależności zmiennej objaśnianej od X.
Współczynnik determinacji skorygowany o liczbę stopni swobody określa w ilu procentach powyższe równanie objaśnia zmienność Y:
R2 = 0.4279.
Odchylenie standardowe reszt oznacza przeciętne odchylenie zmiennej Y obserwowanej w próbie od teoretycznej jej wartości, wyznaczonej z modelu:
SE = 468.180321.
Łredni błąd absolutny jest średnią arytmetyczną absolutnych odchyleń wartości zmiennej zależnej od jej wartości teoretycznych:
MAE = 354.956513.
Weryfikacja modelu
Analiza wariancji
Analiza wariancji w regresji dostarcza danych dotyczących podziału całkowitej sumy kwadratów zmiennej zależnej na część wyjaśniona i niewyjaśniona regresją, wartości odpowiednich średnich kwadratów odchyleń i wartości statystyki F, która służy do weryfikacji hipotezy o braku wpływu uwzględnionych w modelu zmiennych niezależnych.
Analysis of Variance for the Full Regression
---------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares DF Mean Square F-Ratio P-value
---------------------------------------------------------------------------
Model 2350839. 1 2350839. 10.7250 .0066
Error 2630314. 12 219193.
---------------------------------------------------------------------------
Total (Corr.) 4981153. 13
R-squared = 0.471947 Stnd. error of est. = 468.18
R-squared (Adj. for d.f.) = 0.427942 Durbin-Watson statistic = 1.10303
---------------------------------------------------------------------------
Z danych analizy wariancji w regresji wynika następujący podział całkowitej sumy kwadratów odchyleń zmiennej zależnej od średniej, która wynosi 4981153:
suma kwadratów wyjaśniana za pomocą modelu: 2350839,
resztowa suma kwadratów: 2630314.
Liczby stopni swobody wynoszą:
dla sumy kwadratów wyjaśnianej za pomocą modelu: 1,
dla resztowej sumy kwadratów: 12.
Łredni kwadrat odchyleń resztowych, który stanowi ocenę wariancji składnika losowego 2, wynosi:
MSE = 219193.
Statystyka F, która służy do weryfikacji hipotezy, że oba współczynniki regresji jednocześnie są równe zero, ma wartość:
F - Ratio = 10.7250.
Hipoteza ta zostanie odrzucona na każdym poziomie istotności nie mniejszym od 0.0066, a więc także na poziomie istotności 0.05.
Nieskorygowany współczynnik determinacji, który pozwala ocenić udział zmienności Y wyjaśnionej za pomocą liniowego modelu regresji w całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej, wynosi:
R2 = 0.471947.
Analiza rozkładu reszt
Podstawą do weryfikacji modelu ekonometrycznego jest założenie o losowości i rozkładzie składnika losowego wyrażonego wzorem:
Większość testów (szczególnie dotyczących parametrów strukturalnych modelu) wymaga, by składnik losowy posiadał rozkład N(0,). Weryfikację modelu rozpoczęłam więc od analizy składnika losowego, którego wartości podaje poniższe zestawienie:
NUMER OBSERWACJI yi ei = yi -
1 5167.00 5811.81 -644.807
2 5102.00 5395.33 -293.331
3 5043.00 5291.21 -248.212
4 5019.00 5102.81 -83.8060
5 5012.00 4926.80 85.2048
6 5418.00 5065.62 352.379
7 5774.00 5769.66 4.33638
8 6388.00 5779.58 608.420
9 5945.00 5038.35 906.649
10 5701.00 5529.20 171.802
11 5490.00 5708.93 -218.928
12 5129.00 4773.10 355.904
13 4077.00 4709.88 -632.881
14 4217.00 4579.73 -362.732
ŁREDNIA RESZT
Zweryfikowałam następującą hipotezę:
H0: E(ℇ ) = 0 (średnia reszt równa jest 0), wobec hipotezy alternatywnej:
H1: E(ℇ ) 0 (średnia reszt jest różna od 0)
gdzie:
ℇ – zmienna losowa opisująca błąd modelu.
One-Sample Analysis Results
---------------------------------------------------------------------------
RESZTY.residua
Sample Statistics: Number of Obs. 14
Average -1.3E-4
Variance 202332
Std. Deviation 449.813
Median -39.7348
Confidence Interval for Mean: 95 Percent
Sample 1 -259.781 259.781 13 D.F.
Confidence Interval for Variance: 95 Percent
Sample 1 106337 525152 13 D.F.
Hypothesis Test for H0: Mean = 0 Computed t statistic = -1.08137E-6
vs Alt: NE Sig. Level = 0.999999
at Alpha = 0.05 so do not reject H0.
---------------------------------------------------------------------------
Dla poziomu istotności = 0.05 hipoteza zerowa została przyjęta.
WARJANCJA RESZT RÓźNYCH OKRESÓW CZASOWYCH
Wariancja reszt w różnych okresach czasu powinna być taka sama, świadczy to wówczas o tym, ze zmienność w czasie jest jednakowa, zweryfikowałam więc hipotezę:
H0: (wariancja reszt w różnych okresach czasu jest taka sama),
wobec hipotezy alternatywnej:
H1: (wariancja reszt w różnych okresach czasu jest różna).
Do przetestowania tego zagadnienia posłużyła mi statystyka F – Snedecora:
gdzie:
wariancja reszt z lat 1985 – 1991,
wariancja reszt z lat 1992 – 1998.
Two-Sample Analysis Results
---------------------------------------------------------------------------
RESZTY.1 RESZTY.2 Pooled
Sample Statistics: Number of Obs. 7 7 14
Average -118.319 118.319 -1.3E-4
Variance 100651 305070 202860
Std. Deviation 317.255 552.331 450.4
Median -83.806 171.802 -39.7348
Difference between Means = -236.639
Conf. Interval For Diff. in Means: 95 Percent
(Equal Vars.) Sample 1 - Sample 2 -761.321 288.044 12 D.F.
(Unequal Vars.) Sample 1 - Sample 2 -776.487 303.21 9.6 D.F.
Ratio of Variances = 0.329928
Conf. Interval for Ratio of Variances: 95 Percent
Sample 1 + Sample 2 0.0557796 1.95147 6 6 D.F.
Hypothesis Test for H0: Diff = 0 Computed t statistic = -0.982927
vs Alt: NE Sig. Level = 0.345047
at Alpha = 0.05 so do not reject H0.
---------------------------------------------------------------------------
Dla poziomu istotności = 0.05 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji różnych okresów - obszar krytyczny z tablicy F - Snedecora dla =0.05; 6; 6; rozpoczyna się od wartości 4.28, a z obliczeń wynika, iż F = 0.329928.
LOSOWOŁć RESZT
Weryfikację losowości reszt przeprowadziłam za pomocą testu serii.
Wyznaczonym resztom ui przypisałam symbole:
A – dla ui > 0,
B – dla ui < 0.
NUMER OBSERWACJI ei = yi - SYMBOL
1 -644.807 B
2 -293.331 B
3 -248.212 B
4 -83.8060 B
5 85.2048 A
6 352.379 A
7 4.33638 A
8 608.420 A
9 906.649 A
10 171.802 A
11 -218.928 B
12 355.904 A
13 -632.881 B
14 -362.732 B
Otrzymałam w ten sposób ciąg złożony z symboli A i B:
BBBBAAAAAABABB,
w którym można zauważyć serie, czyli podciągi złożone z kolejnych elementów jednego rodzaju. Stąd określiłam liczbę serii k empiryczne.
k = 5
Z tablic liczby serii odczytałam, dla przyjętego poziomu istotności oraz dla n1 (liczba symboli A) i n2 (liczba symboli B), wartość krytyczną k1 i k2.
n1 = 7
n2 = 7
k = 4 dla = 0.05
Otrzymane k spełnia zależność:
k < k,
dlatego przyjęłam hipotezę o losowości próbki.
NORMALNOŁć RESZT
Za pomocą testu Hellwiga dokonałam weryfikacji hipotezy:
H0: F(ℇ) = FN (ℇ) (dystrybuanta reszt jest równa dystrybuancie rozkładu normalnego),
wobec hipotezy alternatywnej:
H1: F(ℇ ) FN (ℇ ).
Procedura testu Hellwiga wymaga przeprowadzenia standaryzacji reszt według wzoru:
gdzie:
e̅̅̅ - średnia arytmetyczna reszt
Se – odchylenie standardowe reszt
Uporządkowałam wartości reszt rosnąco (kolumna 2), dokonałam ich standaryzacji (kolumna 3), a następnie odczytałam wartości dystrybuanty dla każdej standaryzowanej reszty (kolumna 4). Odcinek [0,1] podzieliłam na 14 cel równej długości, których wartości graniczne są wypisane w kolumnie 5.
1 2 3 4 5
ei = yi -
ei rosnąco ui (ui) Ii
-644.807 -644.81 -1.654 0.0495 0.0714
-293.331 -632.88 -1.6019 0.0548 0.1429
-248.212 -362.73 -0.8942 0.1867 0.2143
-83.8060 -293.33 -0.637 0.2643 0.2857
85.2048 -248.21 -0.5338 0.2981 0.3571
352.379 -218.93 -0.4943 0.3121 0.4286
4.33638 -83.806 -0.179 0.4325 0.5000
608.420 4.3364 0.0098 0.504 0.5714
906.649 85.205 0.1856 0.5714 0.6429
171.802 171.8 0.3737 0.6443 0.7143
-218.928 352.38 0.7739 0.7794 0.7857
355.904 355.9 0.8219 0.7939 0.8571
-632.881 608.42 1.5224 0.9394 0.9286
-362.732 906.65 2.3992 0.9916 1.0000
= 0.00013
Se = 449.813
Poniżej zaznaczyłam, ile wartości dystrybuanty wpadło do każdej z cel i otrzymałam h¬0 = 3 cele puste.
** * * ** * * * * * * **
0 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286 1
Z tablic do testu Hellwiga odczytałam wartość krytyczną h¬1- = 8 dla n = 14 i = 0.05.
Ponieważ h¬1- = 8 i h¬0 = 3, stąd zachodzi nierówność h¬0 < h¬1-, co oznacza, iż nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności reszt.
SYMETRYCZNOŁć RESZT
Przeprowadziłam weryfikacje hipotezy:
H0: (składnik resztowy ma rozkład symetryczny),
wobec hipotezy alternatywnej:
H1: (rozkład składnika resztowego nie jest symetryczny).
Do weryfikacji hipotezy zerowej posłużyła mi statystyka:
,
gdzie:
m – liczba reszt dodatnich,
n – liczba wszystkich reszt.
Obliczyłam wartość statystyki t:
.
Dla = 0.05 i n – 1 = 14 – 1 = 13 wartość krytyczna statystyki wyniosła:
t = 2.1604.
Ponieważ t < t, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o symetrii rozkładu składnika resztowego.
AUTOKORELACJA RESZT
Miernikami autokorelacji są współczynniki autokorelacji rzędu - współczynniki korelacji pomiędzy resztami oddalonymi od siebie o okresów. W celu zweryfikowania istotności współczynnika autokorelacji skorzystałam z testu Durbina – Watsona, za pomocą którego sprawdziłam hipotezę:
H0: 1 = 0 (reszty modelu nie są skorelowane), wobec hipotezy alternatywnej:
H1: 1 0 (reszty modelu są skorelowane).
Przy weryfikacji hipotezy skorzystałam ze statystyki d:
.
Wartość d obliczona za pomocą pakietu STATGRAPHICS wynosi: d = 1.103.
Dla = 0.05 i k = 1wartości krytyczne statystyki d wynoszą:
dL = 1.045,
dU = 1.350.
Ponieważ zachodzi związek dL < d < dU to, na poziomie istotności * = 0.05, nie można stwierdzić, czy między resztami występuje zjawisko autokorelacji.
Dla * = 0.01: dL = 0.78. dU = 1.06 i brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (d > dU).
Istotność parametrów strukturalnych
Poddałam weryfikacji hipotezę:
H0: i = 0 (zmienna, przy której stoi parametr i wywiera nieistotny wpływ na zmienną objaśnianą),wobec hipotezy alternatywnej:
H1: i 0 (zmienna, przy której stoi parametr i wywiera istotny wpływ na zmienną objaśnianą).
Test istotności opiera się na statystyce t – Studenta określonej wzorem:
,
gdzie:
ai – ocena i – tego parametru,
i – prawdziwa wartość parametru (zgodnie z hipotezą zerową i = 0 ),
D(ai) – błąd średni szacunku parametru.
Obliczyłam wartość statystyki t:
,
.
Dla = 0.05 i n – k = 14 – 2 = 12 wartość krytyczna statystyki wyniosła:
t = 2.1788.
Dla obydwu parametrów spełniona została nierówność |t| > t, więc hipotezę zerową odrzuciłam na rzecz hipotezy alternatywnej – parametry są statystycznie istotne (co jest potwierdzeniem poprzednich wniosków z etapu Budowy modelu).
Zasada koincydencji
Model ekonometryczny posiada własność koincydencji, jeśli dla każdej zmiennej objaśniającej znak współczynnika stojącego przy zmiennej w modelu jest równy znakowi współczynnika korelacji ze zmienną objaśnianą, czyli dla każdego
i = 1, 2, ..., m (m — liczba zmiennych), spełniony jest warunek:
sgn ai = sgn ri
Dla mojego modelu:
sgn aX9 = sgn rX9,
zatem posiada on własność koincydencji, czyli wraz ze wzrostem wartości zmiennej X9, rośnie wartość zmiennej objaśnianej.
Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych
W celu sprawdzenia, czy model mój w wystarczająco wysokim stopniu wyjaśnia kształtowanie się zmiennej objaśnianej, wykorzystałam kilka podstawowych miar:
WSPÓ£CZYNNIK DETERMINACJI skorygowany o liczbę stopni swobody określa w ilu procentach model objaśnia zmienność Y:
R2 = 0.4279, co nie jest wynikiem rewelacyjnym, gdyż informuje, że model jedynie w 42,79% wyjaśnia zmienną objaśnianą.
WSPÓ£CZYNNIK ZBIEźNOŁCI wyraża się wzorem: ² = 1-R² i wynosi:
² = 0.5721, co oznacza, że aż w 57.21% zmienna objaśniana nie jest wyjaśniana przez model.
WSPÓ£CZYNNIK ZMIENNOŁCI LOSOWEJ wyraża się wzorem:
gdzie:
Se - odchylenie standardowe reszt (Se = 449.813),
- średnia arytmetyczna zmiennej objaśnianej ( = 5248.71).
We = 8.56%, dla przyjętej krytycznej wartości W* = 10%, co daje nierówność:
We < W*.
To oznacza, że model można uznać za dostatecznie dobrze dopasowany do danych empirycznych.
W ramach oceny dopasowania modelu można prześledzić wykresy:
1) WYKRES RESZT WZGLęDEM WARTOŁCI TEORETYCZNYCH ZMIENNEJ ZALEźNEJ
Punkty reprezentujące na wykresie reszty są dość przypadkowo rozmieszczone wokół linii reprezentującej wartości teoretyczne. Przy czym stopień rozrzutu nie wydaje się zależny od poziomu wartości teoretycznych zmiennej zależnej.
2) WYKRES ZMIENNYCH RESZTOWYCH W UK£ADZIE SIATKI PROBABILISTYCZNEJ ROZK£ADU NORMALNEGO
Normalność zmiennych resztowych jest jednym z założeń potrzebnych do przeprowadzenia testów statystycznych w analizie regresji. Jeśli zmienna ma rozkład normalny to punkty na wykresie powinny leżeć na linii prostej. Jak widać z wykresu punkty układają się bardzo blisko prostej.
Prognozowanie
Na podstawie otrzymanego przeze mnie modelu można obliczyć, jaka będzie prognozowana liczba absolwentów akademii medycznych w roku 1999.
Do równania:
podstawiłam znaną mi wartość zmiennej X = 389 i otrzymałam wynik:
= 4283.28144,
który zbliżony jest do wartości odczytanej z Rocznika Statystycznego równej 4224.
Wyrównanie wykładnicze Browna
Wyrównanie wykładnicze Browna służy do analizy szeregu czasowego, której przedmiotem jest wykrycie i opis prawidłowości, jakim mogą podlegać zmiany zjawiska w czasie. Procedura ta eliminuje z szeregu czasowego wahania przypadkowe dostarczając formalnego modelu trendu wykorzystywanego do ekstrapolacji zjawiska. Cechą charakterystyczną wyrównania wykładniczego Browna jest to, że większy wpływ na wartości parametrów modelu wywierają obserwacje nowsze niż obserwacje starsze.
Stopień dopasowania modelu do danych szeregu czasowego charakteryzowany jest za pomocą kilku mierników. Opierają się one na błędach jednookresowych prognoz wyznaczanych na podstawie sukcesywnie otrzymywanych funkcji trendu. Wartości jednookresowych prognoz dla poszczególnych typów modeli obliczane się jako:
model stały,
model liniowy,
model kwadratowy.
Błędy prognoz traktowane są jako reszty i wykorzystuje się je do oceny stopnia dopasowania modelu do danych empirycznych. Obliczane są następujące miary dopasowania:
błąd przeciętny M. E.,
średni błąd kwadratowy M. S. E.,
średni błąd absolutny M. A. E.,
procentowy średni błąd absolutny M. P. A. E.,
procentowy błąd przeciętny M. P. E..
Wartość stałej równania określa wagi, jakie nadaje się poszczególnym obserwacjom przy wyrównywaniu. Wystarczające są na ogół wartości z przedziału 0.1 - 0.3. Wartość stałej równa 0.1 pozwoli na eliminację z szeregu czasowego dużych wahań losowych. Natomiast wartość 0.3 jest wystarczająco wysoka, wyrównany szereg uwzględnił zmiany trendu zjawiska.
Wyniki wszystkich modeli przy różnej stałej wyrównania przedstawiłam poniżej:
Percent: 100
Forecast summary M.E. M.S.E. M.A.E. M.A.P.E. M.P.E. Period 15
---------------------------------------------------------------------------
Simple: 0.1 -2.93973 409351. 475.964 9.49198 -1.57592 5163.18
Linear: 0.1 -75.9851 465284. 511.326 10.3420 -3.08205 5065.50
Quadratic: 0.1 -138.079 519521. 558.433 11.3405 -4.32706 4896.66
Simple: 0.3 -89.8106 367592. 439.941 8.89063 -3.05191 4816.74
Linear: 0.3 -159.395 336223. 455.110 9.00901 -4.03372 4223.42
Quadratic: 0.3 -151.541 298510. 466.964 9.01594 -3.35041 3684.18
---------------------------------------------------------------------------
Wartości miar wskazują na wielkość i charakter błędów w poszczególnych wariantach wyrównywania. Absolutną wielkość błędów charakteryzuje średni błąd kwadratowy (M.S.E.) i średni błąd absolutny (M.A.E.), względną wielkość błędów charakteryzuje procentowy średni błąd absolutny (M.A.P.E.). Na podstawie błędu przeciętnego (M.E.) i procentowego błędu przeciętnego (M.P.E.) wykrywa się systematyczne obciążenie prognoz (zawyżenie lub zaniżenie).
Wartości miar wskazują na brak znaczących różnic pomiędzy trzema wyrównaniami. Dla niskich miary dopasowania są niezbyt dobre. Wydaje mi się, iż odpowiednim modelem byłby liniowy ze stałą wyrównania = 0.3. Wartość prognozy na rok 1999 w tym przypadku wynosi 4223 absolwentów Akademii Medycznych, co niewiele różni się od rzeczywistej wielkości 4224.
LITERATURA
Dąbrowski A. (pr. zb.), Statystyka. 15 godzin z pakietem STATGRAPHICS, Wydawnictwo AR we Wrocławiu, Wrocław 1994;
Krysicki W. (pr. zb.), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Część II: Statystyka matematyczna,
PWN, Warszawa 1994;
Nowak E., Problemy doboru zmiennych do modelu ekonometrycznego, PWN, Warszawa 1984;
Podgórski J., Statystyka z komputerem. STATGRAPHICS wersja 5 i 6, MIKOM, Warszawa 1995;
Obara M., Jak stu
|
|
|
Zaloguj się, żeby móc dodawać komentarze.
|
|
|
Dodawanie ocen dostępne tylko dla zalogowanych Użytkowników.
Proszę się zalogować lub zarejestrować, żeby móc dodawać oceny.
Brak ocen.
|
|
|
|
