Mapa Serwisu
|
| MODEL EKONOMETRYCZNY |
|
Admin1 dnia marzec 15 2007 17:14:31
|
MODEL EKONOMETRYCZNY
Podstawowym obiektem rozpatrywanym w ekonometrii jest model ekonometryczny. Modelem ekonometrycznym nazywamy formalny opis stochastycznej zależności wyróżnionej wielkości, zjawiska lub przebiegu procesu ekonomicznego ( zjawisk, procesów) od czynników, które je kształtują, wyrażony w formie pojedynczego równania bąd¼ układu równań. Strukturę każdego równania określają: zmienna objaśniana, zmienne objaśniające (nielosowe lub losowe) mające ustaloną treść ekonomiczną, parametry strukturalne ,zmienna losowa (tradycyjnie nazywana składnikiem losowym) o nieznanej treści oraz określony typ związku funkcyjnego między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi i składnikiem losowym.
Przykład:1.1
Dany jest model ekonometryczny
w którym Y oznacza produkcję cukru w Polsce (tys.t), X-powierzchnię uprawy buraka cukrowego (tys. ha). Zmienną Y nazywamy zmienną objaśnianą, zmienną X -objaśniającą, są nieznanymi parametrami strukturalnymi modelu. Składnik losowy wyraża tzw. błąd w równaniu, czyli wpływ na Y czynników nie uwzględnionych w modelu w sposób bezpośredni, takich jak: warunki klimatyczne, zawartość cukru w burakach cukrowych, przygotowanie cukrowni do kampanii cukrowniczej itp. Zależność produkcji cukru od powierzchni uprawy buraka cukrowego jest liniowa.
KLASYFIKACJA ZMIENNYCH WYSTęPUJ¡CYCH W MODELU EKONOMETRYCZNYM
Rozważamy dwa rozłączne podzbiory zmiennych występujących w modelach ekonometrycznych:
A - zmienne endogeniczne: bieżące i opó¼nione (wyjaśniane przez model),
B - zmienne egzogeniczne: bieżące i opó¼nione (nie wyjaśniane przez model).
Ze względu na rolę pełnioną przez poszczególne zmienne w modelu możemy jeszcze wprowadzić podział na:
C - zmienne objaśniane
D - zmienne objaśniające.
W ogólnym przypadku zbiory C i D nie są zbiorami rozłącznymi, ponieważ zmienna objaśniana może być jednocześnie ( w tym samym modelu) zmienną objaśniającą. Z taką sytuacją można zetknąć się w modelach wielorównaniowych.
KLASYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH
Modele ekonometryczne klasyfikujemy ze względu na pięć kryteriów.
KRYTERIUM 1. Liczba równań w modelu.
Podział: - modele jednorównaniowe (patrz przykład 1.1),
-modele wielorównaniowe, w których każde równanie objaśnia jedną zmienną.
Przykład 1.2 Dany jest model ekonometryczny
w którym:
PKB - produkt krajowy brutto,
I - inwestycje,
Z - zatrudnienie,
- parametry modelu,
- składniki losowe,
t - numer roku.
Wcześniej zdefiniowane, odpowiednie podzbiory zmiennych modelu ekonometrycznego są następujące:
A={PKB,I} , B={Z} , C= , D=
Zmienne nazywamy zmiennymi opó¼nionymi.
KRYTERIUM 2. Postać analityczna zależności funkcyjnych modelu.
Podział:
- modele liniowe (przykłady 1.1 i 1.2), w których wszystkie zależności modelu są liniowe,
- modele nieliniowe, w których chociaż jedna zależność modelu jest nieliniowa.
Przykład 1.3 Dany jest jednorównaniowy, nieliniowy model ekonometryczny
w którym:
- produkt krajowy brutto w roku t,
- majątek produkcyjny w roku t,
- zatrudnienie w gospodarce w roku t,
- parametry,
- czynnik losowy.
Zmienną losową w przykładach 1.1 i 1.2 włączoną do modelu przez dodawanie nazywamy addytywnym składnikiem losowym, a zmienną losową w przykładzie 1.3 włączoną do modelu przez mnożenie nazywamy multiplikatywnym składnikiem losowym.
KRYTERIUM 3. Rola czynnika czasu w równaniach modelu.
Podział:
- modele statyczne (przykłady 1.1 i 1.3), nie uwzględniają czynnika czasu, wśród zmiennych objaśniających nie występują zmienne opó¼nione ani zmienna losowa,
- modele dynamiczne, w których uwzględnia ie czynnik czasu (przykład 1.2). Najlepiej znanym przypadkiem modelu dynamicznego jest model autoregresyjny, w którym wśród zmiennych objaśniających występują jedynie opó¼nione w czasie zmienne objaśniane.
KRYTERIUM 4. Ogólno poznawcze cechy modelu.
Podział:
- modele przyczynowo opisowe wyrażające związki przyczynowo skutkowe między zmiennymi objaśniającymi i objaśnianymi,
- modele symptomatyczne, w których rolę zmiennych objaśniających pełnią zmienne skorelowane z odpowiednimi zmiennymi objasnianymi a nie wyrażające ¼ródeł zmienności zmiennych objaśnianych.
Ostatnie kryterium podziału modeli ekonometrycznych dotyczy modeli wielorównaniowych.
KRYTERIUM 5. Charakter powiązań między nieopó¼nionymi zmiennymi endogenicznymi w modelu wielorównaniowym.
Podział:
- modele proste,
- modele rekurencyjne,
- modele o równaniach współzależnych.
Postać jednorównaniowego modelu ekonometrycznego.
Rozpatrujemy liniową zależność zmiennej objaśnianej od zmiennych objaśniających i składnika losowego
(2.1)
gdzie:
Y- zmienna objaśniana,
- zmienne objaśniające, j=1,2,3,...,k,
- nieznane parametry strukturalne modelu, j=0,1,...,k
- składnik losowy
Naszym celem jest oszacowanie parametrów modelu na podstawie posiadanych informacji statystycznych, dotyczących wartośc zmiennych występujących w modelu. zakładamy, że dysponujemy n-elementowymi szeregami czasowymi obserwacji dla wszystkich zmiennych modelu. W przypadku danych przekrojowych n oznacza liczbe obiektów. Oznaczamy:
- wartość zmiennej objaśnianej w okresie t, t=1,2,...,n,
- wartość j-tej zmiennej objaśniającej w okresie t, t=1,2,...,n,
oraz zapisujemy posiadane informacje w ujęciu macierzowym:
- wektor obserwacji zmiennej objaśnianej,
- macierz zaobserwowanych wartości zmiennych objaśniających.
Po uwzględnieniu znanych wartości poszczególnych zmiennych zależność (2.1) przyjmuje postać układu n-równań liniowych:
(2.2)
Przy dodatkowym oznaczeniu:
-wektor składników losowych,
-wektor nieznanych parametrów modelu,
jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny zapisujemy w postaci
(2.3)
Równanie macierzowe (2.3) zawiera nieznane parametry strukturalne modelu oraz składniki losowe , których własności a priori nie znamy.
Założenia klasycznej metody najmniejszych kwadratów (KMNK).
Najlepiej znaną i najczęściej stosowaną w praktyce metodą estymacji nieznanych parametrów strukturalnych modelu jest metoda najmniejszych kwadratów (MNK). Przyjmujemy następujące założenia dotyczące stosowalności MNK do szacowania wektora w modelu :
(Z1) zmienne objaśniające są nielosowe i nieskorelowane ze składnikiem losowym ,
(Z2) rz(x)=k+1 n,
(Z3) E =0,
(Z4) , przy czym
Niekiedy przyjmuje się dodatkowe założenie (Z5), rozszerzające założenia (Z3) i (Z4) , mianowicie
(Z5) dla t=1,2,...,n
Założenie (Z5) oznacza, że składnik losowy w każdym z okresów ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 0 i skończonej, stałej wariancji Zasadność założenia (Z2) ma charakter algebraiczny i zostanie wyjaśniona poniżej. Założenia (Z3) i (Z4) warunkują korzystne własności estymatora a wektora parametrów wymienione w podanym dalej twierdzeniu Gaussa-Markowa. Symbol użyty w twierdzeniu Z4 oznacza macierz wariancji i kowariancji wektora składników losowych.
Założenia (Z1)-(Z4) dotyczące modelu nazywane są założeniami klasycznej metody najmniejszych kwadratów, a MNK przy tych założeniach określa się mianem klasycznej metody najmniejszych kwadratów (KMNK).
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW (MNK)
Zamierzamy wyznaczyć oceny a nieznanych parametrów modelu . Wartości zmiennej objaśnianej otrzymane przy ocenach a nazwiemy wartościami teoretycznymi zmiennej objaśnianej, oznaczymy je przez i obliczymy jako:
t=1,2,...,n (2.4)
Resztą dla okresu t nazwiemy różnicę między wartością empiryczną a teoretyczną zmiennej objaśnianej , czyli
t=1,2,...,n (2.5)
wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej oraz reszty możemy zapisać w postaci wektorów:
oraz
Wobec tego otrzymujemy macierzowy zapis równań (2.4)
(2.6)
oraz równań (2.5)
(2.7)
Idea metody najmniejszych kwadratów (MNK) polega na wyznaczenia takiego wektora oszacowań a wektora parametrów , przy którym funkcja S(a) = osiąga minimum . Funkcja S(a) wyraża sumę kwadratów odchyleń teoretycznych wartości zmiennej objaśnianej od empirycznych wartości tej zmiennej i może być przedstawiona w postaci
(2.8)
Poszukiwanie punktu stacjonarnego funkcji S z warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcji,
prowadzi do równania macierzowego
(2.9)
a w konsekwencji do układu równań normalnych względem a postaci
(2.10)
Macierz jest macierzą Grama dla macierzy X. £atwo zauważyć ,że macierz jest kwadratową, symetryczną macierzą stopnia k+1.Warunek konieczny i dostateczny na to , by macierz była nieosobliwa jest identyczny z założeniem (Z2). Widzimy więc że założenie (Z2) ma charakter algebraiczny i warunkuje otrzymanie jedynego rozwiązania układu (2.10).
Przy założeniu (Z2) układ równań normalnych (2.10) jest więc układem Cramera .Jego (jedyne) rozwiązanie dane jest wzorem
(2.11)
Można sprawić ,że macierz drugich pochodnych cząstkowych funkcji S względem a jest równa
(2.12)
Jest ona dodatnio określona. Wobec tego funkcja S w punkcie a osiąga minimum lokalne.
Gdy macierz X i wektor y mają znaną postać liczbową, wówczas ze wzoru (2.11) otrzymamy oceny parametrów szacowanego modelu. W ogólnym przypadku wzór (2.11) przedstawia postać estymatora parametrów modelu wyprowadzono przy użyciu MNK z jedynym założeniem (Z2).Mimo identycznego symbolu a stosowanego w statystyce i ekonometrii do oznaczenia estymatora i jego konkretnej wartości (czyli oceny nieznanego parametru) nie należy mylić tych dwóch pojęć.
Twierdzenie (Gaussa-Markowa)
Estymator a wyznaczony KMNK jest estymatorem: liniowym , zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym w klasie liniowych i nieobciążonym estymatorów wektora parametrów modelu .
Przypomnijmy, że:
- estymator zgodny jest zbieżny stochastycznie do ;
- estymator nieobciążony to taki ,dla którego E(a) = ;
- estymator najefektywniejszy ma w określonej klasie estymatorów najmniejszą wariancję;
- estymator liniowy - uzasadnienie znajduje się poniżej.
Wektor a jest estymatorem liniowym, ponieważ każda składowa wektora a jest liniową funkcją składowych wektora y o współczynnikach z iloczynu .
Wyznaczenie wektora ocen a za pomocą MNK jest tożsame z wyznaczeniem pewnej hiperpłaszczyzny w przestrzeni .Odnotujemy niektóre algebraiczne własności wektora a wyznaczonego przy użyciu MNK. Przyjmiemy przy tym oznaczenie dla kolumnowego wektora jedynek
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Procedura obliczenia wektora ocen a kończy etap estymacji parametrów strukturalnych modelu ekonometrycznego.
Macierz kowariancji (niekiedy nazywana macierzą wariancji i kowariancji estymatora a wyznaczamy ,korzystając z własności nieobciążności estymatora a i z założenia (Z4), w podany sposób:
A zatem
(2.18)
|
|
|
Zaloguj się, żeby móc dodawać komentarze.
|
|
|
Dodawanie ocen dostępne tylko dla zalogowanych Użytkowników.
Proszę się zalogować lub zarejestrować, żeby móc dodawać oceny.
Brak ocen.
|
|
|
|
